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Mathématique

Géométrie analytique

La géométrie analytique fait le pont entre la géométrie et l’algèbre. Elle représente des objets géométriques à l’aide d’équations et d’inéquations. Les élèves travaillent donc à l’aide de représentations dans un plan cartésien.

Au 1er cycle du secondaire, les élèves perfectionnent leur habileté à repérer des points dans le plan cartésien selon les types de nombres à l’étude. Ils apprennent à représenter globalement une situation par un graphique.

Au 2e cycle du secondaire, les élèves apprennent à modéliser et à analyser des situations à partir d’un repère cartésien. Ils calculent des distances, déterminent les coordonnées de points de partage et font l’étude de lieux géométriques. Selon la séquence, ils utilisent des coordonnées pour effectuer des transformations géométriques et dégager certains résultats dans le cercle trigonométrique.

Les tableaux qui suivent présentent les connaissances relatives à la géométrie analytique. C’est en s’appuyant sur les concepts et les processus visés que les élèves peuvent développer les trois compétences du programme. Le fait de développer ces compétences leur permet en retour de mieux intégrer les concepts et processus mathématiques en cause.

Analyse de situations à l’aide de la géométrie analytique  
L’élève apprend à le faire avec l’intervention de l’enseignante ou de l’enseignant.
L’élève le fait par lui-même à la fin de l’année scolaire.
 
L’élève réutilise cette connaissance.
Secondaire
1er
cycle		 2e
cycle
  1. Repérage
 6e 1re 2e 3e 4e 5e
  1. Effectuer des activités de repérage sur un axe, selon les nombres à l’étude
    Note : Au 1er cycle du secondaire, le repérage se fait avec les nombres en notation décimale ou fractionnaire, positifs ou négatifs.
        
  1. Repérer un point dans le plan cartésien, selon les nombres à l’étude (abscisse et ordonnée d’un point)
        
  1. Droite et demi-plan
6e 1re 2e 3e 4e 5e  
  1. Utilisation du concept d’accroissement pour :
  
    1. calculer la distance entre deux points
      Note : En 3e secondaire, le concept de distance entre deux points est abordé dans le cadre du travail sur la relation de Pythagore. Par ailleurs, en 4e secondaire, la distance entre deux parallèles ou d’un point à une droite ou à un segment se réalise à partir des concepts et des processus associés à la distance et aux systèmes d’équations.
          
    1. déterminer les coordonnées d’un point de partage selon un rapport donné (y compris les coordonnées du point milieu)
      Note : En SN, l’élève peut également déterminer les coordonnées d’un point de partage à l’aide du produit d’un vecteur par un scalaire.
           CST
  TS
  SN
    1. calculer et interpréter une pente
      Note : En 3e secondaire, le concept de pente est abordé de façon non formelle dans le cadre du travail sur le taux de variation des fonctions de degré 0 et 1.
          
  1. Déterminer la position relative de deux droites à partir de leur pente respective (sécantes, perpendiculaires, parallèles distinctes ou confondues)
    Note : En 3e secondaire, le concept de position relative entre deux droites est introduit dans la comparaison de taux de variation et de graphiques de fonctions de degré 0 et 1. Il en est de même pour la résolution de systèmes d’équations linéaires à deux variables.
          
  1. Modéliser, avec ou sans outils technologiques, une situation en recourant à
  
    1. des droites : graphiquement et algébriquement
      Note : En 3e secondaire, le concept de droite est abordé de façon non formelle dans le cadre de l’étude des fonctions de degré 0 et 1. Les différentes formes d’écriture de la droite doivent être exploitées dans les séquences (canonique, générale et symétrique). Cependant, la forme symétrique de la droite n’est pas au programme en CST. Elle est facultative en TS et prescrite en SN.
         
    1. un demi-plan : graphiquement et algébriquement
            
    1. des droites parallèles et des droites perpendiculaires
            
  1. Déterminer l’équation d’une droite à l’aide de la pente et d’un point ou à l’aide de deux points
           
  1. Déterminer l’équation d’une droite parallèle ou perpendiculaire à une autre
            
  1. Transformations géométriques
 6e 1re 2e 3e 4e 5e  
  1. Dégager, par observation, les caractéristiques des transformations géométriques dans le plan cartésien : translation, rotation centrée à l’origine, réflexion par rapport à l’axe des abscisses et à l’axe des ordonnées, homothétie centrée à l’origine, dilatation (ou contraction)
    Note : En CST, la rotation centrée à l’origine dont l’angle de rotation est un multiple de 90° est facultative.
           CST
  TS
    SN
  1. Définir algébriquement la règle d’une transformation géométrique
    Note : En TS, l’élève utilise aussi une matrice pour définir la règle de transformation.
           CST
  TS
    SN
  1. Construire, dans le plan cartésien, l’image d’une figure à partir d’une règle de transformation
    Note : En TS, l’élève détermine également les sommets de l’image à l’aide d’une matrice.
           CST
  TS
    SN
  1. Anticiper l’effet d’une transformation géométrique sur une figure
           CST
  TS
    SN
  1. Lieux géométriques
 6e 1re 2e 3e 4e 5e  
  1. Décrire, représenter et construire des lieux géométriques dans les plans euclidien et cartésien, avec ou sans outils technologiques
    Note : En SN, l’étude des lieux géométriques se limite aux coniques.
             CST
  TS
  SN
  1. Analyser et modéliser des situations faisant appel à des lieux géométriques dans les plans euclidien et cartésien
    Note : En TS, les lieux géométriques incluent également des lieux plans, c’est-à-dire des lieux géométriques qui font intervenir uniquement des droites ou des cercles. En SN, l’étude des lieux géométriques se limite aux coniques.
             CST
  TS
  SN
  1. Analyser et modéliser des situations à l’aide des coniques ci-dessous
    • Description des éléments d’une conique : rayon, axes, directrice, sommets, foyers, asymptotes, régions
    • Représentation graphique de la conique, de la région intérieure ou extérieure
    • Construction de la règle d’une conique à partir de sa définition
    • Recherche de la règle (sous forme canonique) d’une conique, de sa région intérieure ou extérieure
    • Validation et interprétation de la solution obtenue, au besoin
  
    1. parabole centrée à l’origine et obtenue par translation
             CST
  TS
  SN
    1. cercle, ellipse et hyperbole centrées à l’origine
             CST
  TS
  SN
    1. cercle, ellipse et hyperbole obtenues par translation
             CST
  TS
    SN
  1. Déterminer les coordonnées de points d’intersection entre
  
    1. une droite et une conique
      Note : En TS, cet énoncé est associé à la résolution de systèmes qui font intervenir des modèles fonctionnels à l’étude et est majoritairement graphique (avec ou sans outils technologiques).
             CST
  TS
  SN
    1. deux coniques (une parabole et une conique)
             CST
    TS
  SN
  1. Cercle trigonométrique
 6e 1re 2e 3e 4e 5e  
  1. Établir le lien entre les rapports trigonométriques et le cercle trigonométrique (rapports et lignes trigonométriques)
             CST
  TS
  SN
  1. Déterminer les coordonnées des points associés aux angles remarquables à partir des relations métriques dans les triangles rectangles (relation de Pythagore, propriétés relatives aux mesures d’angles : 30°, 45°, 60°)
             CST
  TS
  SN
  1. Analyser et exploiter la périodicité et la symétrie dans la recherche des coordonnées de points du cercle trigonométrique associés aux angles remarquables
             CST
  TS
  SN
  1. Démontrer les identités pythagoriciennes
            CST
  TS
  SN

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